아마추어를 벗어나기 위한 아날로그 회로집(5)-필터 회로

아마추어를 벗어나기 위한 아날로그 회로집(Ⅱ)-필터 회로

 

필요한 주파수 성분을 추출하거나 제거할 때 사용한다
기본 중의 기본! 필터 회로

 



가장 심플해서 널리 사용되는 RC 필터의 성질
신호에 주파수라는 떨림을 가하는 회로 

필터 전문 서적을 읽어 볼 의욕을 갖자마자 어려운 수식이 많아 바로 책을 덮어 버린 경험이 있을 것이다. 필자도 그런 사람 중 한 명이다. 이 글은 엔지니어의 약점 극복기로 읽어도 좋을 것이다.

1. 전자회로의 필터는 주파수로 선별한다

필터라는 말을 들으면 필자는 제일 처음 그림 1(a)와 같은 커피 필터가 떠오른다. 



커피콩을 갈아 분말 형태로 만든 것에 뜨거운 물을 부으면 커피가 추출되고 필터 안에는 찌꺼기가 남는다. 필터는 커피 입자에 따라 걸러서 가는 입자만 커피 서버에 떨어뜨린다. 딱딱하게 들릴 수 있겠지만 커피 필터는 크기에 따라 선별하는 것이라고 할 수 있다.
그림 1(b)의 소쿠리, 담배, 마스크도 필터이며 에어컨이나 메일 서버에도 필터가 들어 있다. 선별하는 기능이 있다면 무엇이든 필터라고 할 수 있다.
전자회로에서 필터는 주파수에 따라 선별, 분리, 분별하는 역할을 담당한다. 여기서는 주파수에 따라 신호를 분리하는 필터에 대해 알아본다.

2. 주파수 특성

처음에 나오는 필터는 그림 2(a)에 나타난 RC에 의한 LPF(Low Pass Filter)이다. 



주목해야 할 부분은 회로 중 주파수 특성을 가진 소자이다. 그림 2(a)에서 주파수 특성을 가진 소자는 커패시터 C 하나이다. 
커패시터 C의 주파수 특성은 그 임피던스 ZC를 식 (1)과 같이 나타낼 수 있다.



식 (1)은 주파수 f를 높여 나가면 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 점점 작아진다는 것을 나타낸다. 임피던스 Z_C가 작아지는 비율은, 주파수가 2배 높아지면 1/2이고 주파수가 10배 높아지면 1/10이다. 한편, 그림 2(a)의 회로에서 저항 R은 주파수 특성을 갖지 않는다.
여기까지 이해하고, 그림 2(a)를 다시 작성한 그림 2(b)를 살펴보자. 그림 2(b)에서는 입력 전압 V_in을 저항 R과 커패시터 C로 분압한 것처럼 보인다.
그림 2(b)에서 주파수 특성을 가진 소자는 커패시터 C뿐이며, 그 임피던스는 주파수에 반비례한다. 주파수가 2배일 때 1/2, 10배일 때 1/10이다. 따라서 출력 전압 V_out은 낮은 주파수에서 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 크므로 입력 전압 V_in을 그대로 출력 전압 V_out으로 나타낼 수 있다.
한편, 높은 주파수에서는 커패시터 C의 임피던스 ZC가 작아 출력 전압 Vout이 감소한다. 감쇠 정도는 커패시터 C의 임피던스 Z_C 특성에 따라 주파수가 2배일 때 1/2, 10배일 때 1/10이다(오른쪽의 ‘감쇠율 －6dB/oct와 －20dB/dec는 같은 의미’ 부분 참조).
그림 2(a)에 의해 낮은 주파수에서는 신호가 통과하지만 높은 주파수에서는 감쇠한다. 즉, LPF를 실현할 수 있다. 이것은 전적으로 주파수 특성을 가진 소자가 1개뿐이기 때문에 생겨난 특성이다. 엄밀하게는 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 주파수 특성을 갖고 있기 때문에 생겨난 특성이다.
(1) 커패시터의 주파수 특성이 필터를 만들어낸다
저항 R과 커패시터의 임피던스 Z_C에 주목하여 필터 동작을 해설한다.
① 낮은 주파수에서는
낮은 주파수에서는 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 매우 커서 커패시터 C가 없는 것과 같다. 주파수 특성을 가진 소자의 영향을 받지 않으므로, 이 부근에서는 주파수 특성을 갖지 않는다. 
식 (2)가 성립하는 주파수에서 R과 C에 의한 LPF는 주파수 특성을 갖지 않는다.



② 약간 높은 주파수에서는
주파수가 높아지면 커패시터 C의 임피던스 ZC가 작아진다. 저항 R과 같아지는 주파수 부근부터 커패시터 C의 임피던스 ZC가 회로의 주파수 특성에 영향을 미치기 시작한다. 즉, 다음 식이 성립하는 주파수 부근부터 R과 C에 의한 LPF 주파수 특성이 변화한다.

 

③ 상당히 높은 주파수에서는
주파수가 더 높아지면 저항 R보다 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 작아지므로 다음 식이 성립하게 된다.



이 주파수 영역에서 출력 전압은 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 작아지는 비율로 감소한다. 
실제로 그림 2의 상수를 식 (3)에 넣어 보면 f＝5kHz를 구할 수 있다.



그리고 그림 3은 그림 2(a)에 나타난 회로의 주파수 특성을 측정한 결과이다. 다행히 정확하다. 특히 그림 3의 10kHz 이상 주파수에서는 주파수가 2배일 때 1/2, 10배일 때 1/10, 즉 －6dB/oct 또는 －20dB/dec가 되었다.



이것은 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 주파수 특성을 갖고 있기 때문에 생겨난 특성이다.
이렇게 보면 식 (3)으로 나타낼 수 있는 주파수 f는 주파수 특성의 변화점이 되었다. 그래서 컷오프 주파수라고 한다.
(2) 인덕터와 저항으로도 필터를 만들 수 있지만 하지 않는 편이 좋다
주제에서 살짝 벗어나 보자. 회로 안에 주파수 특성을 가진 소자가 1개밖에 없을 경우, 그림 3과 같은 주파수 특성을 실현할 수 있을 것이다. 설계한 결과를 그림 4에 나타낸다.



사실 여기서 좌절했는데, 이것은 그림에 있는 인덕터 L의 인덕턴스가 너무 커서 구하기 어려웠기 때문이다. 그림 4의 회로에서도 같은 주파수 특성을 실현할 수 없는 것은 아니지만 입수성, 크기, 가격을 고려할 경우 그림 4는 일반적이지 않다고 할 수 있다. R과 C로 만드는 LPF 회로[그림 2(a)]가 현실적이다.

3. 위상 특성

(1) 위상 지연은 주파수 특성을 가진 소자에 의해
이번에는 그림 3의 위상 특성에 대해 고찰한다. 그림 5는 저항 R과 커패시터 C에 흐르는 전류를 나타낸 것이다.



① DC 부근 … 입력 전압 Vin과 출력 전압 Vout은 같은 위상
우선 DC 부근 주파수에서는 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 매우 크며 등가 회로는 그림 5(a)와 같이 그릴 수 있다. 이 그림 5(a)의 회로에서는 입력 전압 Vin의 위상과 출력 전압 Vout의 위상이 같아진다.
컷오프 주파수 부근에 대한 이야기는 나중으로 미루고, 100kHz 이상의 주파수에서 생각해 보자. 이 주파수에서 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 매우 작아져 단락되었다고 생각하면 그림 5(c)와 같이 된다. 즉, 저항 R에 따라 결정되는 전류가 커패시터 C에 흐른다. 이 때, 전류는 저항 R에 따라 결정되므로 그 위상은 입력 전압 Vin과 동일하다.
② 매우 높은 주파수 … 100kHz 이상
여기서 ‘커패시터의 전압은 전류보다 90° 지연된다’는 것을 떠올려야 한다. 커패시터 C의 양단 전압, 즉 출력 전압 V_out은 입력 전압 V_in에 대해 90° 지연된다. 하지만 주파수에 따라서는 90°까지 지연되지 않는 것도 있다.
③ 컷오프 주파수 부근 … ①과 ②의 중간 상태
컷오프 주파수 부근에서는 저항 R과 커패시터 C의 임피던스 Z_C가 같아지며 등가 회로는 그림 5(b)가 된다. 
흐르는 전류의 크기는 저항 R과 커패시터 C 양쪽으로 정해진다. DC 부근 주파수 상태와 100kHz 이상 주파수 상태의 중간 상태가 될 것이다. 즉, 출력 전압 V_out의 위상은 컷오프 주파수 부근의 신호가 입력 전압 V_in에 대해 45° 지연되어 출력된다.

‌LC 필터의 성질 
RC 필터가 2개 배열된 감쇠량을 얻을 수 있다

1. 기본 동작

지금까지는 주파수 특성을 가진 소자(C나 L)가 1개인 심플한 필터에 대해 해설했다. 여기서는 2개인 경우의 동작도 생각해 본다.
그림 6은 그림 2의 저항 R을 주파수 특성이 있는 소자인 임피던스 L로 바꾼 필터 회로이다. 



주파수 특성을 가진 소자가 L과 C 2개 있는 회로로 된다. 인덕터 L과 커패시터 C로 구성되어 있으므로 LC 필터라고 한다. 
‘가장 심플해서 널리 사용되는 RC 필터의 성질’ 부분의 그림 2(a)와 비교하기 쉽도록 그림 6도 컷오프 주파수 5kHz로 설계했다. 일반적으로 인덕터 L의 임피던스 ZL은 다음 식으로 나타낼 수 있다.



임피던스 ZL은 주파수가 2배일 때 임피던스 2배, 10배일 때 임피던스 10배이다. 그런데 커패시터 C의 임피던스 Z_C는 주파수가 2배일 때 1/2, 10배일 때 1/10이었다. 이러한 주파수 특성을 가진 소자를 하나보다 두 개 조합한다면, 컷오프 주파수 이상의 대역에서 큰 감쇠를 기대할 수 있다.

2. 감쇠량 기준은 C 또는 L 하나에서 －20dB/dec

실험 결과를 그림 7에 나타낸다. 주목해야 할 점은 컷오프 주파수 5kHz 이상의 주파수 대역이다. 주파수가 10배 높아지면, 가령 10kHz와 100kHz에서는 그 게인이 －40dB 감쇠한다. 
L이 주파수 10배일 때 임피던스 10배, C가 주파수 10배일 때 임피던스 1/10로 되면 C의 전압은 주파수 10배일 때 1/100로 되어 －40dB/dec가 된다.
주파수 특성을 가진 소자가 한 개인 RC 필터일 때에는 －20dB/dec로 감쇠됐다. 주파수 특성을 가진 소자가 하나이고 －20dB/dec로 감쇠하므로 주파수 특성을 가진 소자가 2개이면 －40dB/dec이다.
그림 6에 저항 R이 있다. 저항 R의 필요성은 그림 7과 같이 저항 R을 바꿔 보면 확실하다. 



이 경우, 필터로서는 R＝2.2Ω으로 해야 한다. 실제 설계에서는 R＝50Ω 등에서 주파수 특성이 평탄해지도록 설계해야 한다. 상세한 내용은 전문 서적을 참고하기 바란다.

‌RC 로패스 필터 설계 
주파수 특성을 2단계로 컨트롤해 본다

실제 RC에 의한 LPF를 설계해 본다. 필터 설계란, 좀 아는 척을 하자면 ‘주파수 특성 설계’와 다름없다. 예제를 통해 실제로 해보자.

1. 컷오프 주파수 fC＝5kHz … RC 로패스 필터의 경우

(1) 상수는 2개이며 식이 하나이면 한 번에 결정되지 않는다
컷오프 주파수 f_C＝5kHz인 CR에 의한 LPF를 설계해 본다. CR에 의한 LPF에서 컷오프 주파수 f_C는 식 (7)로 구할 수 있다.



설계 조건은 컷오프 주파수 f_C＝5kHz이며, 저항 R과 커패시터 C를 구해야 한다. 여기서 구하는 파라미터는 저항 R과 커패시터 C 2개이며 식은 하나이므로 대수적으로는 구할 수 없다. 
그래서 저항 R, 커패시터 C 한쪽 값을 가정으로 정해 두고 다른 하나의 값은 식 (7)을 만족하도록 정한다. 답이 하나만 있는 것은 아니다.
이 경우, 저항 R과 커패시터 C 중 어느 쪽을 먼저 정해 둘 것인가. 경우에 따라 다르겠지만, JIS 계열의 수가 적은 쪽부터 계산하는 것이 좋을 것이다. 
저항 R은 JIS E24 배열이 일반적이며, 커패시터는 종류가 많아도 JIS E12 계열이므로 커패시터 C를 먼저 결정하면 계산하는 횟수가 적어진다. 그래서 C를 먼저 정해 두고 저항 R을 정하는 순서로 설계해 본다.
(2) 1단계 … C를 정하고 R을 계산한다
저항 R은 식 (7)을 변형하여 다음과 같은 식으로 얻을 수 있다.



커패시터를 1nF(＝1000pF)부터 순서대로 JIS E12 계열에 따라 정해 두고, 저항 R을 계산으로 구하면 표 1과 같이 된다.



(2) 2단계…JIS E24 계열에 맞는 R을 선택한다
그 후에는 저항 R이 JIS E24 계열의 상수값에 가능한 한 가까운 조합을 선택한다. 그런 의미에서, 사례에서는 다음과 같은 후보를 들 수 있다.
2) C＝1.2nF일 때, R＝26.5kΩ → R＝27kΩ
4) C＝1.8nF일 때, R＝17.7kΩ → R＝18kΩ
6) C＝2.7nF일 때, R＝11.8kΩ → R＝12kΩ
9) C＝4.7nF일 때, R＝6.78kΩ → R＝6.8kΩ
11) C＝6.8nF일 때, R＝4.68kΩ → R＝4.7kΩ
12) C＝8.2nF일 때, R＝3.88kΩ → R＝3.9kΩ
즉, 커패시터 C를 1.0nF부터 10nF 사이에서 선택해도 설계의 답은 6개가 있다는 의미이다. 마지막에는 입출력 임피던스를 고려하여 6개 중에서 CR 조합을 선택한다. 이 CR의 LPF 회로는 그림 8과 같이 입력으로 되는 신호원 임피던스가 매우 낮고, 또한 출력 측은 높은 임피던스로 접속되어 있는 것이 전제이다.



그러므로 신호원의 임피던스가 0Ω이 아닐 경우에는 저항 R을 크게 한다. 한편, 신호를 받는 측 회로의 입력 임피던스가 별로 높지 않을 경우 R로는 낮은 값을 선택한다. 마지막에는 회로 설계 엔지니어의 주관에 따라 결정한다. 그림 2(a)에서는 필자의 주관에 따라 이 중에서 9)의 C＝4.7nF, R＝6.8kΩ을 최선으로 했다.

‌‌OP 앰프로 만들 수 있는 2개의 액티브 필터를 자유자재로 사용한다 
코일을 사용하지 않고 －40dB/dec보다 급격한 감쇠  특성을 실현한다

L, C, R과 같은 수동(패시브) 소자로 이루어진 필터만 소개했으므로, OP 앰프를 사용한 본격적인 액티브 필터도 소개한다.
(1) 액티브 필터의 기본 … 셀런키 회로
그림 9는 OP 앰프 1개에 의한 액티브 필터로 LPF를 실현했다. 



이 회로는 셀런키(Sallen-Key) 회로라고 하며 액티브 필터로서 가장 일반적인 회로이다.
(2) 상수 오차나 온도 변화에 강하다 … 스테이트 배리어블 필터
또 하나는 그림 10에 나타난 LPF로 스테이트 배리어블 필터(State Variable Filter)라고 하는 일반적인 필터이다.



사실 일반적인 스테이브 배리어블 필터는 OP 앰프 3개로 구성되지만 그림 10은 OP 앰프를 1개 늘려 특성을 조금 개선했다.
그림 9와 그림 10을 비교하면 부품 상수의 오차나 편차, 온도 변화에 대해 그림 10이 강하고 안정적으로 동작한다.



1. 액티브 필터라고 해도 C가 2개라면 감쇠량은  

－20dB/dec×2＝－40dB/dec
주목해야 할 부분은 주파수 특성을 가진 소자의 개수이다. 그림 9의 셀런키 회로에 의한 LPF와, 그림 10의 스테이트 배리어블 필터 회로에 의한 LPF 모두 주파수 특성을 가진 소자는 2개이다. 컷오프 주파수 이상의 주파수 영역에서는 －40dB/dec로 감쇠한다.



2. 다루기 어려운 L 대신 OP 앰프를 사용한 필터도 있다

전자회로의 필터는 주파수 특성을 가진 커패시터 C나 인덕터 L을 사용하여 구성한다. 단, 현실에서의 인덕터 L은 크고 상수 정밀도가 나쁘다는 등의 이유로 꺼려진다. 회로도 더 작아야 한다. 
그래서 인덕터 L에 상당하는 소자를 OP 앰프로 실현한 액티브 필터도 실용화되었다.

아날로그가 아니어도 가능하다!  
디지털 필터의 기본 
소자의 편차와 경년변화를 걱정할 필요가 없다

1. 이제부터는 디지털 필터 … 1개 전 샘플값을 사용하여 연산하면 주파수 특성을 잘 나타낼 수 있다

최근에는 FPGA, CPU와 같은 디지털 디바이스가 급속하게 진화하여 고속 처리가 가능해짐에 따라 가격적으로도 충분히 제품화할 수 있게 되었다. 그러자 기존에 OP 앰프 등으로 구성되던 그림 9, 그림 10의 액티브 필터 회로는 별로 사용되지 않게 된 대신 디지털 필터(Digital Filter)가 등장했다. 그림 11은 디지털 필터 중에서 IIR(Infinite Impulse Response)형이라고 하는 타입이다. 



그림을 보는 것만으로는 그림 11의 IIR 필터가 그림 9, 그림 10과 같은 특성을 갖고 있다고 믿을 수 없다.
그림 11에 나타난 IIR형 디지털 필터의 경우, 식 (9)와 같이 연산함으로써 원하는 주파수 특성을 얻었다.



식 (9)의 계수 a₁, a₂, a₃, b₁, b₂를 바꾸면 LPF, HPF 등의 기능 전환과 컷오프 주파수 f_C도 변경할 수 있다.
디지털 필터라고 하면 전문 서적에 수식만 잔뜩 나와 있어서 어렵다는 인상을 받기 쉽다. 그러나 간단하게 말하면 ‘연산에 의해 주파수 특성을 얻는 필터’라고 할 수 있다.
연산에 의한 주파수 특성 예로서 평균을 생각해 보자. 예를 들면, 그림 12와 같이 현재 데이터에서 5개 앞의 데이터까지 평균화한다.



이렇게 하면 얻어진 데이터 열은 크게 차이나는 값이 없어진다. 즉, LPF되었다는 의미이다. 연산으로 주파수 특성을 얻으므로 아날로그 필터에 비해 수식이 더 많이 등장하는 것이다.
주제에서 약간 벗어난 얘기지만, 식 (9)는 계수×입력 데이터(출력 데이터)＋의 형태로 되어 있다. 일반적으로 이러한 A×B＋C의 곱셈과 덧셈 조합을 곱합 연산이라고 한다. 마이컴 등에서 DSP(Digital Signal Processor) 기능을 강조하는 것은, 곱합 연산을 고속으로 할 수 있는 기능이 부가된 타입이라고 볼 수 있다. CPU, FPGA 모두 디지털 필터는 곱합 연산에 의해 실현되고 있다.

2. 상수 변경이 간단하고 실물 튜닝도 필요 없다

디지털 필터는 계수 a₁, a₂, a₃, b₁, b₂만 바꾸는 소프트웨어적인 변경으로 필터 특성을 바꿀 수 있으며, 계수는 소프트웨어적인 상수이므로 온도 특성을 갖지 않아 시간의 흐름에 따른 변화도 없다는 등과 같은 이점이 있다.
OP 앰프에 의한 액티브 필터 대신 디지털 필터가 사용되기 시작했지만, 이것은 단순히 실현 방법이 바뀐 것에 불과하다. 주파수에 의해 신호를 분리하는 필터의 특성은 전혀 바뀌지 않았다는 것을 강조해 두고 싶다. 


本 記事는 日本 CQ出版社가 發行하는 「トランジスタ技術」誌와의 著作權 協定에 依據하여 提供받은 資料입니다.

출처: http://www.hellot.co.kr/new_hellot/search/search_magazine_read.html?idx=14463